同素分堆問題是求方法數(shù)問題的一種基本題型。它的最基本的模型是:
“把n個相同的元素分成m堆,每堆至少1個,問有多少中不同的分法?”
這里的“同素”即“相同的元素”,在這個模型中,最關(guān)鍵的是“每堆至少1個”這句話,必須是每堆至少一個,才可用我們接下來要講的解決這類問題的方法:隔板法。
【例1】把10本相同的書分給3個班級,每班至少1個,問有多少種不同的分法?
【思路】本題中“同素”:是10本相同的書,故n=10;
分給3個班級:即將書分成3堆,故m=3;
每班至少1本。
故本題為同素分堆問題的最基本的模型。
解決方法:隔板法。把10本書排成一排,因為書是相同的,不存在排列順序問題。
要把這10本書分成三堆,只要在這10本書形成的空隙中插入2個隔板即可。10本書排成一排,形成了11個空。但是,因為要求每班至少分一本書,所以最前面的空和最后一個空是不能插板的,則只能在中間形成的9個空中插入2個隔板,即從9個空中選擇2個空插入隔板。然而,到底選擇的2個空插入隔板是用排列還是組合呢?
【解析】由于兩個隔板的放置的位置不同就已經(jīng)體現(xiàn)了三個班級分得書本數(shù)的可能性,故只要在9個空中選2個位置放隔板即可,不需要選完之后再排列,用組合即可,即隔板的放置方法共有 種,也即把10本相同的書分給3個班級,每班至少1個,共有 種方法。
【總結(jié)】把n個相同的元素分成m堆,每堆至少1個,有 不同的分法。
然而,行測數(shù)學(xué)運(yùn)算部分關(guān)于此知識點的考查往往是基本模型的變形的形式。和基本模型的主要區(qū)別在于,題干中所給的條件不在是“每堆至少1個”,而是“每堆至少多于1個”,當(dāng)問題這樣變形后,就不能直接用隔板法解決了。
【例2】把10本相同的書分給3個班級,每班至少2本,問有多少種不同的分法?
【解析】這個問題中,在分書時,要求的是“每班至少2本”。我們說,在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問題時,要求必須是“每堆至少1個”。為此,解決不是“每堆至少1個”的同素分堆問題時,我們用轉(zhuǎn)化的思想。即想辦法把“每班至少多于1個”轉(zhuǎn)化成“每堆至少1個”,再應(yīng)用隔板法解題。
本題中就可以通過先每班分一本書,然后還剩7本書,所以本題就轉(zhuǎn)化為:
“把7本相同的書分給3個班級,每班至少一本,問有多少中不同的分法?”
應(yīng)用隔板法:n=7,m=3,故有 種不同的分法。
【總結(jié)】在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問題時,一定要區(qū)分題干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1個”,可直接應(yīng)用隔板法解題;如果“每堆至少分的多于1個”,則應(yīng)該將其轉(zhuǎn)化為“每堆至少分1個”的情況,再應(yīng)用隔板法。
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